BARISAN BILANGAN ( DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI )

BARISAN BILANGAN ( DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI )

Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Yang biasanya dilambangkan Un. Barisan bilangan biasanya ditulis :

U1, U2,`U3, , Un

Dengan Un adalah suku ke – n dan n = 1,2,3, . . .

Perhatikan bentuk penulisan barisan bilangan dimana U1 adalah suku pertama, U2 adalah suku ke-2, dan seterusnya hingga Un yang disebut suku ke-n

Contoh :

Barisan 0,2,4 berarti:

U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4

(menambahkan 2 pada suku sebelumnya)

1.       Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan

Contoh: 

Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan bilangan 2, 5, 8, 11, . . . 

Jawab: Barisan 2, 5, 8, 11,. . . 

U1 = 2 

U2 = 5 = 2 + 3 

U3 = 8 = 5 +3 

U4 = 11 = 8 +3 

Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, n +3)

2.       Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan

Un = f (n)

•  Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap 

(b) U1, U2, U3, U4, …, Un 

Maka diperoleh: 

Un = bn + (U1 - b) 

Contoh : 

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil. 

1, 3, 5, 7, …, Un 

Maka, 

b = 2 ; U1 = 1 

Un = bn + (U1 - b) = 2n+(1-2) = 2n -1

• Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap U1, U2, U3, U4, …, Un 

Maka diperoleh: 

Un = rn x U1 /r 

Contoh : 

Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un ) 

Maka, 

r = 10 ; U1 = 1 

Un = rn x U1 /r = 10n x 1/10 = 10n -1

• Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap 

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan 

formula berikut: 

Un = b/2 . n (n-1) + c 

Dengan: c = Suku ke-n barisan bilangan pola 

               b = Selisih tetap 

Contoh:

Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang berpola tingkat satu Barisan:

A. Barisan Aritmetika 

     Definisi

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini :

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, Barisan Aritmetika

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).Contoh :

a.       1, 4, 7, 10, 13, ...

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b.       2, 8, 14, 20, ...

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c.       30, 25, 20, 15, ...– – –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut :

Jika U adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U – U

U = a U = U + b = a + b U = U + b = (a + b) + b = a + 2b U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b . U = U + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku 

U = a + (n – 1)b 

Contoh  :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab: –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92

 

B. Deret Aritmetika 

     Definisi
Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S .Dengan demikian, S = U1 + U2 + U U . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut :Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n – 1)b. Contoh  :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab:Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.S =S =2S =2S = 5 x 16S = S = 40Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
Keterangan: S = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda U = suku ke-n n = banyak sukuS = n (a + U ) atau S =n [2a + (n – 1)b]
C. BARISAN GEOMETRIBarisan yang memiliki perbandingan antar suku terdekat adalah sama.Contoh :

2, 4, 8, 16, (pembandingnya adalah 2)

2, 6, 18, 54, (pembandingnya adalah 3)

Pembanding di sebut rasio (r) 

a, ar, ar2, ar3, , arn-1
Contoh Soal `:

Dalam suatu barisan geometri, U =64 dan U =1 , Tentukan r dan lima suku pertama Jawab: a= 64, dan U = a rU4= 64 r3 = 1r3 = 1/64r = 1/4Jadi lima suku pertama 64, 16, 4, 1, 1/4

  

D. DERET GEOMETRIDeret Geometri a + ar + ar arn-1 Untuk mencari rumus deret geometri Sn= a + ar + ar arn-1 r Sn= ar + ar arn-1 + arn (1 - r) Sn = a – arn (1 - r) Sn = a(1 – rn) Sn= --a(1 – rn)1 – r
Untuk mempermudah mengenai barisan deret aritmetika dan geometri silahkan klik Link video berikut berikut : 👉 https://youtu.be/yOHZ52t2g_M